Com sabem que tots els electrons són idèntics? Part 2

A la primera part vaig passar la paradoxa de Gibbs, una paradoxa de la mecànica estadística de finals del segle XIX la resolució de la qual va suggerir que les partícules han de ser idèntiques i indistinguibles en algun nivell. Aquesta va ser la primera pista, i va fer que alguns pensessin sobre el tema, però no va ser l'última paraula.

A la segona part, completaré la meva explicació sobre com els físics saben que totes les partícules elementals (com l’electró) són idèntiques aprofundint en la mecànica quàntica, una àrea fascinant de la física que es va descobrir i desenvolupar durant les tres primeres dècades del XX. segle (1900-1930). Hauria de ser completament possible llegir la segona part sense llegir la primera part; tot i que ambdues tenen a veure amb el motiu pel qual les partícules són idèntiques, ambdues són autònomes i cap de les dues no depèn de les altres. La primera part és bàsicament l’explicació tal com s’hauria pogut comprendre cap al 1900, mentre que la segona part és l’explicació tal com la va entendre el 1930, després d’haver finalitzat la mecànica quàntica.

En la mecànica estadística clàssica, podeu representar les probabilitats de l'estat d'un sistema per probabilitats. Per exemple, si coneixeu la temperatura i la pressió d’un gas, hi ha una distribució estadística (anomenada “funció de densitat de probabilitat”) de les diferents partícules que formen el gas. Aquestes partícules reboten de forma aleatòria. A alta temperatura, és més probable que trobeu una molècula individual de gas que es mou ràpidament; a baixa temperatura, és més probable que trobeu una molècula individual de gas que es mou lentament. Però de qualsevol manera hi ha tot un ventall de possibilitats.

En la mecànica quàntica, el mateix és cert, però es complica una mica més. La funció de densitat de probabilitats en mecànica quàntica ve donada pel quadrat de la magnitud d'una funció complexa anomenada "funció d'ona". Per complex vull dir en lloc d’una funció de nombres reals (x = 1, 2, 3,4, 9,8, etc.), és una funció de nombres complexos, cadascun dels quals té una part real i una imaginària (z = 1 + i, 2 + 3,5i, 4,8 + 9i, etc.) Si no l'heu trobat mai abans, estic segur que sona realment estrany. Però no puc dir molt més que això: com funciona la mecànica quàntica, és estrany!

Així, per exemple, si la funció d’ona per a un electró és 1/22 a la posició x i 1 / √2 a la posició y, aleshores, quan les quadres, obteniu probabilitats: les probabilitats que es trobeu a la posició x és 1/2 i les probabilitats de trobar-se a y també són 1/2. De manera que teniu un tret de 50/50 si el busqueu a qualsevol dels llocs.

Fins al moment, això continua sent idèntic a la mecànica estadística clàssica. Si ho volguéssiu, també podríeu representar la funció de densitat de probabilitats en la física clàssica per l’arrel quadrada de si mateixa arreu i res no canviaria. La diferència és que, en la mecànica quàntica, la funció d'ona actua menys com una abstracció mental i més com una ona física real, ja que pot presentar interferències.

Franges d'interferència fosques i clares

Clàssicament, les ones de probabilitat no interfereixen entre elles. La probabilitat és sempre un nombre positiu, de manera que si dues partícules diferents de gas tenen cadascuna la probabilitat de trobar-se a la ubicació x, la probabilitat de trobar-ne qualsevol de les dues és només de 2 p. Clàssicament, la probabilitat de que succeeixen diferents esdeveniments (o es produeixen diferents resultats de mesurament) sempre se suma entre ells, mai no resta.

Però, en la mecànica quàntica, la funció d'ona (en lloc del seu quadrat) és la que funciona com una ona. I com que la funció d'ona de cada punt pot ser qualsevol nombre complex (inclosos nombres reals positius o negatius), de vegades quan es combinen diferents possibilitats, les probabilitats se sumen, però d'altres vegades resten! Quan es produeix la subtracció (per exemple, si la probabilitat de dos esdeveniments diferents anul·la completament el que fa impossible que passi cap dels dos), això es diu interferència quàntica.

Suposem que tenim 2 electrons i que només hi ha dues ubicacions on es podria trobar cada electró, la ubicació x o la ubicació y. Si els dos electrons es distingissin, podríem etiquetar-los com a “electró A” i “electró B” i això significaria que hi ha 4 estats possibles en què es podria trobar el sistema de 2 electrons. Tant A com B són x, tots dos són a y, A és a x i B és a y, o B és a x i A és a y. Per resumir, tenim AB = xx, yy, xy o yx. Una notació habitual per representar estats com aquest en la mecànica quàntica és utilitzar claudàtors angulars: | xx>, | yy>, | xy>, i | yx>.

Però la investigació científica dels anys vint va demostrar un fet sorprenent: un sistema de 2 electrons com aquest no pot estar en 4 estats diferents; només hi ha 1 estat possible.

Una part de la raó per això hauria de ser capaç d’endevinar: si no hi ha cap manera de distingir l’electró A de l’electró B, els estats | xy> i | yx> són idèntics. Només són dues maneres diferents de representar el mateix estat físic. De qualsevol forma, hi ha 1 electró a la posició x i 1 a la posició y.

Però això ens deixa 3 estats, no 1: què passa amb tenir un estat com | xx> on els dos electrons es troben en la posició x o | yy> on tots dos es troben en la posició y? Resulta que més d’un electró mai pot ocupar el mateix estat. El 1925, Wolfgang Pauli va proposar aquest principi, ara conegut com a principi d’exclusió de Pauli, i el 1940 va poder demostrar utilitzant la teoria de camps quàntics que s’aplica no només als electrons sinó a totes les partícules d’un determinat tipus (aquelles amb mig nombre enter. espira - els electrons tenen gir 1/2).

Wolfgang Pauli

Em portaria massa lluny el tema per donar una explicació completa de què és el gir en aquesta publicació (si voleu saber-ne més, us animem a llegir la meva explicació sobre spin-1/2 aquí a Quora, que acaben de notificar. Ahir em vaig enviar per correu electrònic a més de 100.000 persones). Però resulta que totes les partícules quàntiques formen una de les dues categories: fermions o bosons. Els fermions tenen un gir mig enter i obeeixen el principi d'exclusió de Pauli, mentre que els bosons tenen gir complet i no.

Els fermions solen tenir més propietats "similars a la matèria". Per exemple, els electrons, els protons i els neutrons són tots fermions de spin-1/2. Són els que formen els blocs de construcció de la matèria (àtoms, molècules, etc.) Potser heu escoltat en algun lloc o un altre que la matèria no pot ocupar el mateix espai alhora. Això es deu en part al principi d’exclusió de Pauli (així com a la repulsió electrostàtica entre diferents àtoms).

Els bosons solen tenir més propietats “similars a la radiació”. Per exemple, els fotons (les partícules responsables de la llum i d’altres radiacions electromagnètiques (ones de ràdio, microones, wifi, UV, raigs X, raigs gamma, etc.) - són bosons spin-1. El bosó de Higgs descobert a LHC el 2012 és un bosó spin-0. I la majoria de físics teòrics creuen que la gravetat està mediada per un bosó spin-2 anomenat gravitó, tot i que encara no s'ha de detectar en un laboratori.

El principi d’exclusió de Pauli no és només una regla axiomàtica, sinó que és una conclusió que es pot derivar de les nostres millors teories fonamentals de la física. De fet, requereix tant la teoria de la relativitat especial d’Einstein combinada amb la mecànica quàntica per derivar completament el principi d’exclusió de Pauli com a conclusió. A causa de la forma en què funciona el gir, la funció d'ona de 2 bosons sempre es veu obligada a ser "simètrica" ​​mentre que la funció d'ona de 2 fermions sempre es veu obligada a ser "antisimètrica".

En aquest context, simètric simplement vol dir que si intercanvieu les ubicacions de dos bosons, no passa res; obtindreu exactament el mateix estat. Antisimètric significa alguna cosa semblant, però no del tot: si intercanvieu les ubicacions de dos fermions idèntics, obteniu el mateix estat, però amb un signe menys al davant.

La mecànica quàntica es realitza en un tipus d'espai vectorial anomenat "espai Hilbert" on sempre que tingueu 2 estats, hi ha un altre estat que es pot formar a partir d'ells afegint-los junts en una "combinació lineal". Per exemple, si | xy> i | yx> són els dos estats a l'espai Hilbert, llavors | xy> + | yx> també és un estat al mateix espai Hilbert. I també ho és | xy> - | yx> o qualsevol altra combinació lineal com 3 | xy> -2 | yx>. Aquesta manera de combinar estats en mecànica quàntica s’anomena “superposició”. En lloc d'estar definitivament en un lloc o estar definitivament en un altre, l'electró té alguna possibilitat de ser en un i una altra possibilitat de ser a l'altre.

No obstant això, com que aquests estats representen una funció d'ona quàntica, i he esmentat anteriorment que el quadrat de la magnitud d'una funció d'ona quàntica és una distribució de probabilitats, els estats han de normalitzar-se de manera que la probabilitat total de l'electró es trobi en qualsevol lloc. fins al 100% (o 1). Per tant, els coeficients de les combinacions lineals anteriors s’han de dividir per un factor global per normalitzar-los.

Combinant això amb el requisit que les funcions d'ona fermióniques han de ser sempre antisimètriques, vol dir que l'únic estat en què es poden trobar aquests 2 electrons (suposant que només hi hagi dues ubicacions possibles) és 1 / √2 | xy> -1 / √2 | yx>. (O el mateix multiplicat per qualsevol nombre complex de magnitud 1, que és físicament equivalent.) Si intercanviem x i y en això, obtenim 1 / √2 | yx> -1 / √2 | xy> que és exactament -1 vegades l'estat original. Matemàticament es tracta d’un estat diferent a l’espai de Hilbert, però físicament significa el mateix. Si quadrats els coeficients 1/22, ja t’està dient que hi ha una possibilitat d’1 / 2 que l’electró A sigui x i l’electró B estigui en y, i una possibilitat d’1 / 2 que l’electró B sigui x i l’electró A està en y. 50/50

El que vam fer és agafar dos estats físicament indistinguibles - | xy> i | yx>, i formar-ne una superposició que té aquesta propietat antisimètrica necessària de fermions. Però què passa amb els estats | xx> i | yy>? Mai no es poden fer antisimètrics, perquè intercanviar x amb x, o y amb y no canvia res. Com que són estats intrínsecament simètrics, no poden existir per fermes, només s'apliquen als bosons.

Com heu pogut endevinar, això vol dir que per als bosons hi ha 3 estats possibles que podrien existir en lloc de només 1. Per a 2 fotons que podrien estar en la ubicació x o en la ubicació y, els tres estats diferents en què es podrien trobar és | xx> , | yy>, o 1 / √2 | xy> + 1 / √2 | yx>: tots ells perfectament simètrics si intercanvien x i y. (Cap signe menys).

En resum, un parell de partícules distingibles que es poden trobar en 2 llocs diferents té 4 estats possibles en els quals es podrien trobar. Mentre que un parell de fermions només té un estat possible i un parell de bosons té 3 estats possibles. Això comporta un comportament estadístic molt diferent per als fermions i els bosons, i explica per què moltes de les propietats dels dos tipus de partícules són tan diferents.

En una publicació anterior, vaig explicar la història de com l’estudi de l’entropia de Max Planck a finals del 1800 va portar al descobriment inicial de la mecànica quàntica. En aquest mateix període de temps, ja hi havia una pista important que havia estat durant un temps: un conegut trencaclosques sobre la versió de la termodinàmica de Maxwell i Boltzmann (que més tard es coneixerà com a mecànica estadística). Utilitzant la Llei de l’equipartició, la termodinàmica clàssica va predir les capacitats de calor incorrectes per a molts gasos a temperatures baixes.

Una "capacitat de calor" és la quantitat de calor que pot absorbir fins que la temperatura no sigui elevada per una quantitat fixa (generalment, 1 grau centígrad). Alguns gasos són capaços d’absorbir molta calor (energia tèrmica) sense augmentar gaire la seva temperatura. Mentre que per a d’altres, l’exposició a només una petita quantitat de calor enviarà el termòmetre a l’alça. Segons Maxwell i Boltzmann, la teoria d'aquest fet era que alguns gasos són millors per absorbir i emmagatzemar energia tèrmica que d'altres perquè tenen un nombre més gran de graus interns de llibertat; aquests "graus de llibertat" serveixen efectivament com a contenidors dins dels quals energia es pot emmagatzemar. El teorema de l’equipartició (proposat per Maxwell i demostrat més generalment per Boltzmann) estableix que en equilibri, cada gas (o líquid, o sòlid) tindrà una energia interna total d’1 / 2 NkT. Quan N és el nombre de graus de llibertat en aquest gas, T és la temperatura d'aquest gas i k és la constant de Boltzmann. Dit d’una altra manera, el gas tindrà 1/2 kT d’energia tèrmica per grau de llibertat.

Per exemple, si tenim un gas d’hidrogen monatòmic (monatòmic significa que cada molècula és un sol àtom), cada àtom té 3 graus de llibertat perquè es pot moure en una de les tres direccions: cap amunt o cap avall, esquerra o dreta i cap enrere i cap enrere. cap endavant (3 indicacions ja que vivim en un espai tridimensional). L’energia tèrmica pot ser absorbida per un àtom d’hidrogen augmentant la seva energia cinètica en qualsevol d’aquestes 3 direccions independents.

Crèdit d'imatge: astarmathsandphysics.com

D’altra banda, si tenim un gas de molècules d’hidrogen diatòmic (diatòmica significa que cada molècula està composta de 2 àtoms connectats per un enllaç químic), hi ha més graus de llibertat (possibles maneres de moure’s cada molècula del gas) . A més de la llibertat de moure linealment en qualsevol de les 3 dimensions, també té la llibertat de girar al llarg de qualsevol dels dos eixos diferents.

Tot i que el 75% de la matèria de l’univers per massa és hidrogen monatòmic, la major part de l’hidrogen de la Terra és hidrogen diatòmic. Això és degut a que l’hidrogen només és monatòmic a les temperatures i pressions extremadament altes que hi ha dins de les estrelles (com el sol). Sota el rang de temperatures que es troba a prop de la superfície terrestre, l’hidrogen s’uneix de forma natural a la seva fase diatòmica. Però el que semblava estrany a la dècada de 1800 és que, segons la temperatura exacta, l’hidrogen diatòmic pot tenir diferents capacitats de calor.

Crèdit d’imatge: Hiperfísica

A temperatura ambient, l’hidrogen té una capacitat de calor per molècula de prop de 5/2 k (o si és per mole en lloc de per molècula, això s’escriu com 5/2 R com al diagrama). Segons la visió de la termodinàmica de Maxwell i Boltzmann, això implica 5 graus de llibertat (en realitat 7, si inclouen 2 graus més de llibertat per a vibracions). Però el valor exacte a temperatura ambient és d’uns 2,47k. A mesura que el gas es refreda fins a 0 centígrads (273K), es redueix gradualment a partir dels 2,47k fins arribar a situar-se a 1,5k. Però 3/2 k implicaria que només té 3 graus de llibertat, és a dir, que és un gas monatòmic. Per què l'hidrogen més fred es convertiria en un gas monatòmic a baixes temperatures? I què significa tenir un valor entre 3 i 5 graus de llibertat? La capacitat de calor se suposa que era independent de la temperatura. Es van conèixer problemes similars amb les capacitats de calor mesurades de l’oxigen i el gas nitrogenat.

A la dècada del 1800 hi va haver moltes explicacions proposades per a aquest trencaclosques, però ningú va entendre la resposta completa fins al desenvolupament de la mecànica quàntica. La resposta completa és que es quantifiquen les formes en què es poden excitar els graus rotatius de llibertat en les molècules. Clàssicament, alguna cosa pot girar a qualsevol velocitat, sigui quina sigui la lentitud, de manera que qualsevol quantitat d’energia, per petita que sigui, podria començar a girar. Però en la mecànica quàntica, el moment angular es quantifica de manera que les rotacions només poden ocórrer en certs increments discrets. Tant si una molècula comença a girar ràpidament, com si no, no n'hi ha cap pel mig. Per això, a temperatures baixes, la quantitat mitjana d’energia que s’intercanvia entre col·lisions aleatòries de molècules és massa petita per excitar aquests graus de llibertat. A baixes temperatures, el gas d’hidrogen continua sent diatòmic, però els 3 graus de llibertat translacionals són els únics que es poden excitar: no hi ha prou energia perquè les molècules giren. Una vegada que la temperatura s’eleva per sobre d’un determinat llindar, les energies típiques implicades en les col·lisions es converteixen en suficients per excitar les rotacions. Com més alta sigui la temperatura, més gran és la probabilitat d’energies prou altes per provocar rotacions; per tant, la capacitat de calor puja gradualment fins al nivell del que s'hauria esperat per a alguna cosa composta de molècules amb 5 graus de llibertat. Si continueu augmentant la temperatura, amb el temps es fa prou calent per excitar les vibracions (imagineu que l’enllaç entre els àtoms és com una molla, que s’estira i es comprimeix alternativament), que va resultar que també es van quantificar. A temperatures molt calentes, els gasos diatòmics tenen 7 graus de llibertat accessibles, que és el que haguessis pensat que era cert a qualsevol temperatura de manera clàssica. La mecànica quàntica proporciona una explicació similar per a les capacitats de calor de l’oxigen i el nitrogen.

Einstein va proposar el 1906 que la quantització podia resoldre aquest aparent conflicte entre la llei d'equipartició de Maxwell i Boltzmann i les corbes mesurades experimentalment per a la calor específica de gasos diatòmics. I la seva hipòtesi va ser confirmada per 1910 per Nernst quan va mesurar els calors específics de diversos gasos amb més precisió i va trobar que estaven d’acord amb les prediccions teòriques d’Einstein. Aquesta va ser una de les primeres proves experimentals de la mecànica quàntica primerenca.

Però tornant a partícules idèntiques, hi ha una altra manera en què una teoria mecànica quàntica dels gasos difereix substancialment de l’antiga teoria clàssica dels gasos de la dècada del 1800.

Si es distingissin les partícules individuals d’un gas, aleshores quan es refreda el gas fins a zero absolut, totes baixarien a l’estat fonamental - quin estat de la seva tingui l’energia més baixa. Normalment, podríeu pensar que cada partícula està totalment en repòs i no hi ha energia cinètica, energia de rotació o cap altre tipus de moviment o energia interna.

Però per a un gas de fermions, la seva indistinguibilitat és el principi d’exclusió de Pauli, que prohibeix que més d’una partícula idèntica entri al mateix estat. Per tant, no tots poden estar en un estat bàsic. Sovint els nivells d’energia que pot ocupar una partícula estan representats per un esquema d’escala, on cada nivell d’energia és un altre escaló a l’escala. Normalment també hi ha una "degeneració", on diversos estats tenen exactament la mateixa energia, en aquest cas poden ser representats pel mateix escaló a l'escala sempre que fem un seguiment del fet que hi ha degeneració (estats múltiples). escaló

El que passa quan un gas de fermions (també conegut com a gas Fermi) es refreda fins a zero absolut és que cada estat d’una energia determinada s’omple, començant per l’estat terrestre i s’avança cap a l’escala fins que totes les partícules de el gas es comptabilitza i té un escaló. Un cop més, a causa de la degeneració, es poden trobar múltiples partícules al mateix escaló. Però, sempre que la degeneració sigui petita en comparació amb el nombre total de partícules, això vol dir que s’omplirà un munt de pels. Quan ompliu tots els escalons amb partícules, el nivell d’energia més alt que s’omple s’anomena “energia Fermi”.

El 1910, el mateix any Nernst va confirmar la teoria quàntica de les capacitats de calor de gasos diatòmics, un nou tipus d'estels van ser descoberts pels astrònoms. Cap al 1922 passaria a anomenar-se "nana blanca", però ja el 1910 els astrònoms van observar que era diferent de les estrelles corrents i que tenia algunes propietats bastant estranyes. El desconcertant d’aquest tipus d’estrelles era que semblava massa dens per a la física clàssica per explicar com era capaç de brillar.

Sirius B (el punt petit) és l'estrella de nana blanca més propera

La massa d’una nana blanca és semblant a la de la massa del Sol i, tot i això, tota aquesta massa s’empaqueta en una bola minúscula que té aproximadament la mateixa mida que la Terra. Si tenim en compte que el Sol és aproximadament 333.000 vegades més massiu que la Terra, això vol dir que és un tipus de matèria extremadament dens. Aleshores, era molt més dens del que els físics havien vist o escoltat mai, tot i que se suposa que les estrelles creaven gasos d’ions (també coneguts com a plasmes), no la matèria sòlida. Si es tractés d’un tipus de sòlid extremadament dens, aleshores per què brillaria?

Va resultar que era efectivament un plasma, no un sòlid. Però era realment molt dens. Cap teoria clàssica dels gasos pot explicar com podria ser un gas tan dens i no només es col·lapsi en si mateix a causa de la seva pròpia gravetat. El 1926, RH Fowler va explicar correctament, mitjançant la matemàtica de la mecànica quàntica, que les nanes blanques són en realitat gasos de Fermi en lloc de gasos clàssics.

Dit d'una altra manera, una nana blanca és un gas de fermions idèntics. Concretament, és un gas d’electrons. A temperatures altes i baixes pressions, un gas d’electrons no es comporta diferent del gas ordinari clàssic. No importa que els electrons individuals siguin idèntics perquè hi ha molts més estats disponibles que els electrons. Tenen un gran volum per desplaçar-se i moltes maneres diferents de moure's, ja que la temperatura és prou alta. Però refredeu el mateix gas prou cap avall, o eleveu la pressió perquè s’emboliqui en un volum prou reduït, i els electrons comencen a ser aprimats als mateixos estats. Excepte que no puguin entrar exactament en el mateix estat a causa del principi d'exclusió de Pauli. Així que només omplen els estats fins arribar a l’energia de Fermi i s’aturen.

Si fossin partícules distingibles, haurien de passar tots al mateix estat i l’energia seria essencialment nul: no hi ha cap moviment a l’estat fonamental. Però, com que són fermions, hi ha una “pressió de degeneració” que els impedeix entrar en el mateix estat i evita que tot això s’esfondri a causa de la gravetat. Les estadístiques de com es comporten els fermions en aquesta situació es coneixen com a "estadístiques de Fermi-Dirac", que només és similar a les "estadístiques de Maxwell-Boltzmann" en el límit de temperatures altes i baixes pressions. Les estadístiques en aquest context fan referència a quina és la probabilitat que cada partícula tingui una energia donada en equilibri, en funció de la temperatura. O una altra manera de dir-ho: quin és el nombre esperat de partícules que es trobaran a cada nivell d’energia per a un sistema després d’arribar a l’equilibri?

Podeu obtenir estadístiques de Maxwell-Boltzmann comptant quants estats singulars diferents poden ocupar les partícules utilitzant combinatòria i, a continuació, esbrinar on aquesta distribució d’estats arriba al màxim (representant també màxima entropia, també coneguda, equilibri). En el cas de les energies baixes, la degeneració és generalment menor per la qual cosa no hi ha tants estats. Però si l’energia d’una partícula individual és massa elevada, redueix la quantitat d’energia que queda per distribuir entre les altres partícules i es tradueix en menys combinacions possibles. Així doncs, hi ha un equilibri, una condició d’equilibri, on tot el sistema es troba al màxim d’entropia quan els estats d’una energia determinada s’omplen amb un nombre esperat de partícules N_i = K_i / e ^ (E_i-µ) / (kT)). K_i és la degeneració; representa quants estats es troben en un nivell d’energia E_i determinat. El factor de e ^ (- E_i / kT) (on k és la constant de Boltzmann i T la temperatura) es coneix com a "factor Boltzmann". El factor Boltzmann significa que a mesura que pugem per l'escala de nivells d'energia, el nombre de partícules que ocupen cada escaló es fa cada vegada menys exponencial (tot i que cada cop hi ha més espai a causa de la degeneració). Però la temperatura controla la velocitat que aquesta exponencial baixa. El símbol grec µ en e ^ (E_i-µ) / (kT) s'anomena "potencial químic" i és poc important per ara, però representa quant augmentaria l'energia total d'un sistema si s'hi afegís una partícula addicional. . (En molts sistemes, µ és 0 o aproximadament 0, així que sovint ni tan sols s'inclou).

Si el gas és prou escàs que no ens haurem de preocupar per dues partícules diferents que ocupen el mateix estat (les N_i previstes en tots els estats són inferiors a 1), la mateixa derivació funciona bé per als fermions o per als bosons - no importa, totes dues condueixen a les mateixes estadístiques de Maxwell-Boltzmann. Tanmateix, si teniu en compte el cas en què el gas és molt dens o a una temperatura prou baixa, llavors de sobte importa molt si les partícules són fermions o bosons (o cap dels dos, cosa que no ocorre realment a la natura, però es pot imaginar) . Per als fermions, el nombre esperat de partícules que ocupen cada nivell d’energia un cop comptats els estats i trobeu el seu màxim és N_i = 1 / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) + 1) - això es coneix com Estadístiques de Fermi-Dirac. Per a les condicions d’alta densitat en estrelles nanes blanques o condicions de baixa temperatura en altres gasos de Fermi, el potencial químic µ esdevé important i és aproximadament el mateix que l’energia de Fermi comentada anteriorment (i per a la temperatura zero és exactament igual). Tingueu en compte que l'única diferència entre les estadístiques de Maxwell-Boltzmann i les estadístiques de Fermi-Dirac és el "+1" de la fórmula de Fermi-Dirac. Una lleugera diferència, però, tanmateix, té un efecte tan enorme sobre la manera com es comporta la qüestió.

Què passa amb els bosons? No obeeixen el principi d’exclusió de Pauli, per tant, un gas de bosons no semblava diferent del gas clàssic ordinari? No, els bosons tenen el seu propi conjunt d’estadístiques que segueixen conegudes com a “estadístiques de Bose-Einstein”, que és diferent a les estadístiques de Maxwell-Boltzmann i Fermi-Dirac.

Tot i que no obeeixen el principi d’exclusió de Pauli, els bosons idèntics continuen sent diferents de les partícules diferenciables perquè les combinatives segueixen sent diferents. T’ho recordes quan discutíem els estats quàntics en un espai de Hilbert? Per a un parell de bosons idèntics cadascun amb només dos estats disponibles, vam veure que el parell només té 3 estats possibles en els quals es podrien trobar en lloc dels 4 que espereu si es distingissin. La generalització d'això és que per a un conjunt de N bosons idèntics amb K estats disponibles, hi ha "N escolliu K-1" = (N + K-1)! / N! / (K-1)! es podrien trobar diferents estats únics en lloc de K ^ N per partícules distingibles. (On, per descomptat, les marques! Són símbols factorials matemàtics com a la primera part.) Podeu comprovar fàcilment que això funciona pel meu exemple original on N = K = 2: (2 + 2–1)! / 2! / (2 –1)! = 3! / 2! / 1! = (3 * 2 * 1) / (2 * 1) / 1 = 6/2 = 3.

Permet que cada nivell d’energia tingui un nombre diferent d’estats degenerats K_i, s’ha d’ampliar la fórmula a un producte de molts factors cadascun de la forma (N_i + K_i + 1)! / N_i! / (K_i-1)! (el mateix que anteriorment, només amb els seus subscripcions per distingir els diferents nivells d’energia E_i). Després d'utilitzar càlcul per trobar el màxim d'aquesta expressió, l'estat d'equilibri resultant es pot identificar com el que hi ha N_i = K_i / (e ^ ((E_i-µ) / (kT)) - 1) partícules en cada nivell d'energia. E_i. Aquesta és la fórmula de les estadístiques de Bose-Einstein. Fixeu-vos que l’única diferència entre aquesta i la fórmula de Fermi-Dirac és que el +1 ara és un -1! Això fa que tots tres siguin més fàcils de recordar. Encara que sol ser per als bosons, µ és 0 perquè es poden crear o destruir fàcilment, per exemple, el número de fotons no es conserva al nostre univers, per la qual cosa poden aparèixer i desaparèixer sense cap cost quan calgui.

La fórmula de les estadístiques d’Einstein-Bose va ser descoberta per un físic indi anomenat Satyendra Nath Bose, un any o dos abans que les estadístiques de Fermi-Dirac fossin descobertes i aplicades a les nanes blanques. La història de com la va conèixer és fascinant. Va pronunciar una conferència el 1924 a l’Índia britànica (dins del que ara s’anomena Bangla Desh) sobre la “catàstrofe ultraviolada”. La catàstrofe ultraviolada va ser el nom que es va donar a principis del segle XX al problema que ningú va saber derivar plenament la fórmula de Planck per a la radiació de persones negres a partir de la mecànica estadística, que tracto a fons sobre la que és fins ara la meva peça més popular sobre Medi (la història de com Planck va topar amb la mecànica quàntica estudiant l'entropia).

Planck havia encertat en assenyalar que la clau era assumir que l’energia es quantificava d’alguna manera, però no havia aconseguit arribar a una derivació perfectament neta des dels primers principis, sense incloure hipòtesis ad hoc sobre els modes vibracionals al seu interior. forns. Bose estava passant pel procés de demostrar a l'audiència per què partint de la combinatòria bàsica d'estats i nivells d'energia, acabes amb la fórmula equivocada. Excepte que al final, es va produir un estrany miracle: va sorprendre ell mateix i tothom que, d’alguna manera, va acabar casualment per la fórmula adequada. Va mirar enrere el que havia fet i es va adonar que s’havia equivocat: en comptar els estats que els havia comptat de la manera “equivocada”. Havia tractat accidentalment els fotons com si fossin tots idèntics i intercanviables en lloc de distingir-los com s'havia suposat anteriorment. Després de pensar-ho més, es va adonar que potser estava amb alguna cosa; potser, realment, no va ser un error. No sabia qui més ho havia de dir, així que va decidir escriure una carta a Albert Einstein. Einstein es va mostrar immediatament emocionat i el va ajudar a publicar-hi un article.

Satyendra Nath Bose

De manera que la primera clau per reproduir la fórmula de Planck va ser que la llum es quantificava en paquets d’energia individuals anomenats fotons. Però la segona gran clau va ser que aquests fotons no tenen identitats individuals. A part d’alguns que tenen energia i impuls diferents que d’altres, tots són idèntics. Amb posterioritat, això va fer més sentit els treballs anteriors de Boltzmann i Gibbs sobre mecànica estadística. Hi havia hagut un factor de N! llençat a les equacions per fer que la distribució de Maxwell-Boltzmann funcioni correctament i per tal d’assegurar-se que l’entropia s’escalfiqui correctament amb el volum. Gibbs era conscient que això tenia alguna cosa a veure amb el tractament de les partícules com si fossin intercanviables, però ningú no li va prestar molta atenció ni ho havia pres realment. Abans de Bose, tothom generalment encara suposava que les partícules es podrien distingir entre si en algun nivell, almenys en principi.

L’error fortuït de Bose a Bangla Desh va permetre a tot el món de la física posar l’ungla al taüt per la idea que les partícules quàntiques tenen cadascuna la seva pròpia identitat. Si ho tinguessin, hi hauria hagut més estats i encara tindríem una catàstrofe ultraviolada a les nostres mans; la termodinàmica dels fotons distingibles mai no hauria estat capaç de reproduir la radiació de negre que s’observa als forns negres des de finals del 1800. Tampoc no podríem explicar per què el sol ni altres fonts de llum no irradien una quantitat infinita d’energia.

I aquesta - els meus amics - és la història de com vam saber que tots els electrons són idèntics.

Si us plau, feu clic al botó de clap si trobeu aquesta informació, gràcies :-)