QC - Controlar la informàtica quàntica amb operadors, interferències i enredaments unitaris

Foto de Sagar Dani

Genial. Acabem d’acabar la part 2 de Qubit (bit Quantum: el bloc bàsic de construcció per a la computació quàntica). Llavors, com podem controlar-ho? A diferència de la informàtica clàssica, no apliquem operacions lògiques ni aritmètica comuna a qubits. No hi ha cap "declaració while" o "ramification statement" en informàtica quàntica. En lloc d'això, desenvolupem operadors unitaris per manipular qubits amb el principi d'interferència en la mecànica quàntica. Sembla fantasiós, però realment molt senzill. Analitzarem el concepte d’operadors unitaris. Com a nota lateral, analitzarem la seva relació amb l’equació de Schrodinger per tal que no dissenyem un concepte contra la natura. Per fi, ens fixem en l'enredament, un fenomen quàntic místic.

Portes quàntiques

En equips clàssics, apliquem operadors lògics bàsics (NOT, NAND, XOR i AND, OR) en bits per a construir operacions complexes. Per exemple, el següent és un addicionador de bit únic amb un port.

Els ordinadors quàntics tenen operadors bàsics totalment diferents anomenats portes quàntiques. No recompilem un programa C ++ existent per executar-lo en un ordinador quàntic. Tots dos tenen operadors diferents i la computació quàntica requereix algoritmes diferents per aprofitar-los. En informàtica quàntica, es tracta de manipular qubits, enredar-los i mesurar-los. Tornem a l’esfera de Bloch. Conceptualment, les operacions de càlcul quàntic manipula Φ i θ de la superposició per moure punts per la superfície de l’esfera unitària.

Parlant de forma matemàtica, la superposició es manipula amb un operador lineal U en forma de matriu.

Per a un sol qubit, l'operador és simplement una matriu 2 × 2.

Equació de Schrodinger (opcional)

La natura sembla ingènuament senzilla! Les matemàtiques són només àlgebra lineal que aprenem a secundària. Entre mesures, els estats són manipulats per operadors lineals mitjançant la multiplicació de matrius. Quan es mesura, la superposició es col·lapsa. Irònicament, la linealitat és una decepció important per als fans de ciència-ficció. Aquesta és una propietat general de la dinàmica quàntica. En cas contrari, és possible viatjar en temps o viatjar més ràpidament que la llum. Si comencem amb aquest operador lineal (un operador unitari per ser exacte), podem obtenir l’equació de Schrodinger, una pedra angular de la mecànica quàntica en descriure com evolucionen els estats en la mecànica quàntica. Des de la perspectiva oposada, l’equació de Schrodinger conclou la linealitat de la natura.

Font

Aquí, podem reescriure l’equació de Schrodinger com

on H és ermitana. Demostra com els estats evolucionen a la natura linealment.

L'equació és lineal, és a dir, si ψ1 i ψ2 són solucions vàlides per a l'equació de Schrodinger,

la seva combinació lineal és la solució general de l’equació.

Si | 0⟩ i | 1⟩ són estats possibles d’un sistema, la seva combinació lineal serà el seu estat general - aquest és el principi de superposició en computació quàntica.

Unitari

El nostre món físic no permet tots els operadors lineals possibles. L’operador ha de ser unitari i complir el següent requisit.

on U † és el conjugat complex transposat de U. Per exemple:

Matemàticament, l’operador unitari conserva les normes. Aquesta és una propietat meravellosa per mantenir la probabilitat total igual a una després de la transformació de l’estat i mantenir la superposició a la superfície de l’esfera unitària.

Si analitzem la solució per a l’equació de Schrodinger a continuació, la naturalesa obeeix la mateixa regla unitària. H és un eremita (el conjugat complex transposat d’un eremita és igual a si mateix). La multiplicació de l’operador amb el seu conjugat complex transposat és igual a la matriu d’identitat.

A continuació es mostra un exemple de H on hi ha un camp magnètic E₀ uniforme en la direcció z.

Aplicant l'operació unitària a | ψ⟩ es tradueix en una rotació en l'eix z.

Però, quin és el significat real d’unitaris en el món real? Vol dir que les operacions són reversibles. Per a qualsevol operació possible, n’hi ha una altra que pot desfer l’acció. Igual que veure una pel·lícula, podeu reproduir-la endavant i la natura permet al seu homòleg U † reproduir el vídeo enrere. De fet, és possible que no observeu si esteu reproduint el vídeo endavant o enrere. Gairebé totes les lleis físiques són reversibles en el temps. Les poques excepcions inclouen la mesura en dinàmica quàntica i la segona llei de la termodinàmica. A l’hora de dissenyar un algorisme quàntic, això és molt important. L’operació OR exclusiva (XOR) en un ordinador clàssic no és reversible. La informació es perd. Tenint en compte un resultat d’1, no podem distingir si l’entrada original és (0, 1) o (1, 0).

En informàtica quàntica, anomenem operadors com a portes quàntiques. Quan dissenyem una porta quàntica, ens assegurem que sigui unitària, és a dir, hi haurà una altra porta quàntica que pugui revertir l’estat al seu original. Això és important ja que

si un operador és unitari, es pot implementar en un ordinador quàntic.

Un cop demostrada la unitat, els enginyers no haurien de tenir problemes per implementar-la, almenys teòricament. Per exemple, els ordinadors IBM Q, compostos per circuits superconductors, utilitzen polsos de microones de diferent freqüència i durada per controlar qubits a la superfície de l’esfera de Bloch.

Per aconseguir unitats, de vegades sortim part de l’entrada per complir aquest requisit, com la de baix, fins i tot sembla redundant.

Vegem una de les portes quàntiques més comunes, la porta Hadamard que l'operador lineal es defineix com la matriu següent.

o en la notació Dirac

Quan apliquem l'operador a un estat de gir superior o de baixada, canviem les superposicions a:

Si es mesura, tots dos tenen la mateixa possibilitat de filar o girar. Si tornem a aplicar la porta, es torna a l'estat original.

Font

és a dir, el conjugat transposat de l'Adamard és la pròpia porta d'Hadamard.

Quan apliquem UU †, es torna a l’entrada original.

Per tant, la porta Hadamard és unitària.

La computació quàntica es basa en la interferència i l'enredament. Tot i que podem comprendre matemàticament la computació quàntica sense comprendre aquests fenòmens, demostrem-ho ràpidament.

Interferències

Les ones interfereixen entre elles de manera constructiva o destructiva. Per exemple, la sortida es pot ampliar o aplanar segons la fase relativa de les ones d’entrada.

Quin és el paper de la interferència en la computació quàntica? Realitzem alguns experiments.

Interferòmetre Mach Zehnder (font)

Al primer experiment, preparem tots els fotons entrants per tenir un estat de polarització | 0⟩. Aquest corrent de fotons polaritzats es divideix uniformement per la divisió de feixos B en una posició de 45 °, és a dir, es dividirà el feix en dues llums polaritzades ortogonalment i sortirà per camins separats. Després utilitzem miralls per reflectir els fotons a dos detectors separats i mesurar la intensitat. Des de la perspectiva de la mecànica clàssica, els fotons es divideixen en dos camins separats i impacten uniformement sobre els detectors.

Al segon experiment anterior, vam col·locar un altre divisor de feixos abans dels detectors. Per intuïció, els separadors de feixos funcionen independentment els uns dels altres i divideixen un corrent de llum en dues meitats. Els dos detectors haurien de detectar la meitat dels raigs de llum. La probabilitat que un fotó arribi al detector D₀ fent servir la via 1 en vermell és:

La possibilitat total per un fotó d’arribar a D₀ és d’1 / 2 des d’una via 1 o 0-ruta. Així els dos detectors detecten la meitat dels fotons.

Però això no coincideix amb el resultat experimental. Només D₀ detecta llum. Modelem l'estat de transició per a un divisor de feixos amb una porta Hadamard. Així doncs, per al primer experiment, l'estat del fotó després del divisor és

Quan es mesura, la meitat serà | 0⟩ i la meitat ho serà | 1⟩. Els raigs de llum es divideixen de manera uniforme en dos camins diferents. Així doncs, la nostra porta Hadamard coincidirà amb el càlcul clàssic. Però vegem què passa al segon experiment. Com s'ha mostrat abans, si preparem que tots els fotons d'entrada siguin | 0⟩ i els passem a dues portes Hadamard, tots els fotons tornaran a ser | 0⟩. Així, quan es mesura, només D₀ detectarà el feix de llum. Cap arribarà a D₁ sempre que no realitzem cap mesura abans dels dos detectors. Els experiments confirmen que el càlcul quàntic és correcte, no el càlcul clàssic. Anem a veure com la interferència té un paper aquí a la segona porta d’Adamard.

Com es mostra a continuació, els components d’una mateixa base de càlcul interfereixen constructivament o destructivament entre ells per produir el resultat experimental correcte.

Podem preparar el feix de fotó d’entrada perquè sigui | 1⟩ i tornar a fer el càlcul. L’estat després del primer splitter és diferent de l’original per una fase de π. Per tant, si mesurem ara, tots dos experiments faran les mateixes mesures.

No obstant això, quan torni a aplicar la porta Hadamard, es produirà | 0⟩ i un es produirà | 1⟩. La interferència produeix possibilitats complexes.

Permeteu-me fer un experiment més divertit que té una implicació molt important en la ciberseguretat.

Si posem un altre detector Dx després del primer divisor, l’experiment mostra que els dos detectors detectaran la meitat dels fotons ara. Això coincideix amb el càlcul en mecànica quàntica? A l’equació següent, quan afegim una mesura després del primer divisor, obligem un col·lapse a la superposició. El resultat final serà diferent que un sense el detector addicional i coincidirà amb el resultat experimental.

La natura ens diu que si sabeu quin és el camí que pren el fotó, els dos detectors detectaran la meitat dels fotons. De fet, ho podem aconseguir només amb un únic detector en un dels camins. Si no es fa cap mesura abans dels dos detectors, tots els fotons acaben al detector D₀ si el fotó està preparat per ser | 0⟩. Un cop més, la intuïció ens porta a una conclusió equivocada mentre que les equacions quàntiques segueixen sent de confiança.

Aquest fenomen té una implicació crítica. La mesura addicional destrueix la interferència original del nostre exemple. L’estat d’un sistema es canvia després d’una mesura. Aquesta és una de les principals motivacions de la criptografia quàntica. Podeu dissenyar un algoritme tal que si un pirata informàtic intercepta (mesura) el missatge entre vosaltres i l’emissor, podeu detectar aquesta intrusió independentment de la mesura que sigui la mesura. Perquè el patró de la mesura serà diferent si s’intercepta. El teorema de no clonació de la mecànica quàntica afirma que no es pot duplicar exactament un estat quàntic. Així, el pirata informàtic no pot duplicar i reenviar també el missatge original.

Més enllà de la simulació quàntica

Si ets un físic, pots aprofitar el comportament d’interferència en portes quàntiques per simular la mateixa interferència en els mons atòmics. Els mètodes clàssics funcionen amb teoria de probabilitats amb valors majors o iguals a zero. Suposa una independència que no és certa als experiments.

El mecanisme quàntic afirma que aquest model és incorrecte i introdueix un model amb números complexos i negatius. En lloc d’utilitzar la teoria de probabilitats, utilitza interferències per modelar el problema.

Aleshores, què aporta per als no físics? La interferència es pot tractar del mateix mecanisme que un operador unitari. Es pot implementar fàcilment en un ordinador quàntic. Matemàticament, l'operador unitari és una matriu. A mesura que augmenta el nombre de qubits, obtenim un creixement exponencial de coeficients amb els quals podem jugar. Aquest operador unitari (interferència a l’ull del físic) ens permet manipular tots aquests coeficients en una sola operació que ens obre la porta a les manipulacions massives de dades.

Enredament

En general, els científics creuen que, sense enredar-se, els algorismes quàntics no poden mostrar la supremacia respecte als algorismes clàssics. Malauradament, no entenem bé les raons i, per tant, no sabem adaptar un algorisme per aprofitar tot el seu potencial. És per això que s’entén freqüentment l’enredament quan s’introdueix la computació quàntica, però no molt després. Per aquest motiu, explicarem què és l’enredat en aquesta secció. Espero que sigui el científic per trencar el secret.

Considereu la superposició d’un 2 qubits.

on | 10> significa que dues partícules es troben en un gir descendent i en el filat respectivament.

Considereu l'estat compost següent:

Podem dividir l'estat compost en dos estats individuals com,

No podem perquè requereix:

La mecànica quàntica demostra un concepte no intuïtiu. En la mecànica clàssica, creiem que la comprensió de tot el sistema es pot fer entenent bé cada subcomponent. Però en la mecànica quàntica,

Com hem mostrat abans, podem modelar l’estat compost i fer prediccions de mesura perfectament.

Però no es pot descriure ni entendre com a dos components independents.

M’imagino aquest escenari com una parella casada durant 50 anys. Sempre estaran d’acord sobre què fer, però no es poden trobar les respostes quan les tractin com a persones separades. Es tracta d’un escenari massa simplificat. Hi ha molts possibles estats d’enredament

i serà molt més difícil descriure-les quan augmenti el nombre d'ebbits. Quan realitzem operacions quàntiques, sabem com es correlacionen els components (enredats). Però abans de qualsevol mesura, els valors exactes continuen oberts. Entanglement produeix correlacions molt més riques i molt més difícils de imitar de manera eficient per un algorisme clàssic.

Pròxim

Ara, sabem manipular els qubits amb operacions unitàries. Però, per a aquells interessats en algorismes quàntics, hauríem de saber quina és la limitació en primer lloc. En cas contrari, és possible que passis per alt el que són difícils en la computació quàntica. Però, per a aquells que vulgueu saber més coses sobre la porta quàntica, podeu llegir el segon article abans del primer.